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미분 계산

함수 f(x)의 한 점에서의 미분계수·이계도함수 값·접선의 방정식을 수치로 계산

함수 f(x)와 점 x₀를 넣으면 그 점에서의 미분계수(순간변화율), 이계도함수 값, 접선의 방정식을 계산합니다. 도함수 식을 구한 뒤 값이 맞는지 검산할 때 씁니다.

값 입력

예: x^3-2x+1, sin(x), exp(x), sqrt(x)+ln(x). 곱셈은 * 또는 2x처럼. 삼각함수는 라디안

숫자 또는 pi/2 같은 식

계산 결과

f(x₀)8
f′(x₀) (미분계수)12
f″(x₀) (이계도함수 값)12
접선의 방정식y = 12x − 16
x₀에서의 증감증가하는 중
중심차분과 리처드슨 외삽으로 구한 수치 미분값입니다. 소수 여덟째 자리 부근에 작은 오차가 있을 수 있습니다.
참고용 추정치입니다. 실제 신고·납부 전에는 관계 기관이나 전문가에게 확인하세요.

1계산 방법

  • 중심차분 [f(x₀+h) − f(x₀−h)] ÷ 2h를 h, h/2, h/4로 계산하고 리처드슨 외삽으로 오차를 줄여 미분계수를 구합니다.
  • 이계도함수는 [f(x₀+h) − 2f(x₀) + f(x₀−h)] ÷ h²에 같은 외삽을 적용합니다.
  • 접선은 y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)를 y = mx + c 꼴로 정리한 것입니다.

2결과 읽는 법

  • f′(x₀) > 0이면 그 점에서 증가, < 0이면 감소입니다. 0이면 정류점이고, f″이 양수이면 극소, 음수이면 극대 후보입니다.
  • |x|의 x=0처럼 꺾인 점은 미분할 수 없다고 안내합니다.

3알아두면 좋은 점

  • x^3-2x+1처럼 ^로 거듭제곱, sqrt(), ln(), log()(상용로그), exp(), sin() 등을 쓸 수 있습니다.
  • 삼각함수는 라디안 기준입니다. 90°는 pi/2로 넣으세요.
  • 이 계산기는 한 점의 값을 구합니다. 도함수 식 자체는 미분 공식으로 구한 뒤 여기서 값을 검산하세요.

4자주 묻는 질문

정확한 값인가요?
수치 계산이라 다항식은 사실상 정확하고, 다른 함수도 소수 여덟째 자리 안팎까지 맞습니다.
변수로 x 말고 다른 문자를 써도 되나요?
x만 인식합니다. t로 된 식은 t를 x로 바꿔 넣으세요.

5이런 경우가 있었습니다

도함수 식을 믿고 넘어간 경우

경제학과 학생 라희원 씨는 한계비용을 구하려고 비용함수를 손으로 미분했는데, 합성함수 부분에서 계수를 하나 빠뜨렸습니다. 이를 모르고 보고서 결론까지 썼다가 발표 직전에야 숫자가 이상하다는 것을 알았습니다.

한 점에서 값을 검산한 경우

같은 조의 복세찬 씨는 손으로 구한 도함수에 몇 개의 점을 넣은 값과 수치 미분값을 비교했습니다. 한 점에서 값이 어긋나는 것을 보고 식을 다시 확인해 계수 실수를 바로잡았습니다.

손으로 구한 도함수, 한 점에서라도 값을 확인해 보셨나요?

위 두 이야기는 이해를 돕기 위해 가상으로 구성한 사례입니다. 실제 인물이나 사건과 무관합니다.

근거 · 미분계수와 도함수(고등학교 수학Ⅱ·미적분 교육과정), 중심차분·리처드슨 외삽(수치해석 교재)

적용된 세율·기준값 확인 →