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벡터 계산

두 벡터의 크기·합·차·내적·사이각·외적·정사영을 계산 (2~10차원)

두 벡터의 크기, 합과 차, 내적과 사이각, 3차원이면 외적까지 한 번에 계산합니다. 두 벡터가 수직인지 평행인지도 판별합니다.

값 입력

예: 1, 2, 3 또는 (1, 2). 분수·음수 가능

계산 결과

|a| (크기)3.74165738677
|b| (크기)8.77496438739
a + b(5, 7, 9)
a − b(-3, -3, -3)
내적 a·b32
사이각12.9332°
외적 a×b(-3, 6, -3)
평행사변형 넓이 |a×b|7.34846922835
b 방향으로의 a 정사영(1.66233766234, 2.07792207792, 2.49350649351)
관계수직도 평행도 아님
참고용 추정치입니다. 실제 신고·납부 전에는 관계 기관이나 전문가에게 확인하세요.

1계산 방법

  • 크기 |a| = √(a₁² + a₂² + …), 내적 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + … 입니다.
  • 사이각 θ는 cos θ = a·b ÷ (|a||b|)에서 구합니다. 외적(3차원)은 (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)입니다.
  • b 방향으로의 a 정사영은 (a·b ÷ |b|²) × b 입니다.

2결과 읽는 법

  • 내적이 0이면 두 벡터는 수직, 사이각이 0°나 180°이면 평행입니다.
  • |a×b|는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이고, 그 절반이 삼각형 넓이입니다.

3알아두면 좋은 점

  • 물리에서 일(W)은 힘과 이동 벡터의 내적입니다.
  • 외적의 방향은 오른손 법칙을 따릅니다. a×b = −(b×a)입니다.
  • 2차원 벡터는 두 성분만 넣으세요. 외적 대신 평행사변형 넓이를 보여 줍니다.

4자주 묻는 질문

영벡터를 넣으면요?
크기와 내적은 계산하지만 방향이 없어 사이각과 관계는 정의되지 않습니다.
4차원 이상도 되나요?
10차원까지 크기, 내적, 사이각, 정사영을 계산합니다. 외적은 3차원에서만 정의됩니다.

5이런 경우가 있었습니다

각도를 눈대중으로 잡은 경우

인테리어 설계를 하는 예서진 씨는 비스듬한 벽 두 면이 거의 직각이라 보고 붙박이장을 주문했습니다. 실제로는 몇 도 벌어져 있어 설치할 때 틈이 생겼고, 마감재를 따로 맞춰야 했습니다.

좌표로 각도를 계산한 경우

같은 사무실 궁태오 씨는 실측한 벽 좌표로 벡터를 만들어 사이각을 계산했습니다. 직각이 아니라는 것을 미리 알고 가구 옆판 각도를 맞춰 주문했고, 설치가 한 번에 끝났습니다.

직각처럼 보이는 모서리, 정말 90도인지 재어 보셨나요?

위 두 이야기는 이해를 돕기 위해 가상으로 구성한 사례입니다. 실제 인물이나 사건과 무관합니다.

근거 · 벡터의 내적(고등학교 기하 교육과정), 외적(선형대수·일반물리 교재)

적용된 세율·기준값 확인 →