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삼차방정식 계산

ax³ + bx² + cx + d = 0의 실근·허근(중근 포함)과 판별식을 계산

삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근을 모두 구합니다. 실근과 허근, 중근·삼중근을 구분하고 판별식과 근과 계수의 관계도 보여 줍니다.

값 입력

a (x³의 계수)

음수·분수 가능, 빈칸은 0

b (x²의 계수)

c (x의 계수)

d (상수항)

근의 종류서로 다른 세 실근

실근1, 2, 3

허근없음

판별식 Δ4

세 근의 합 · 곱합 6, 곱 6

참고용 추정치입니다. 실제 신고·납부 전에는 관계 기관이나 전문가에게 확인하세요.

x = t − b/(3a)로 바꿔 x² 항을 없앤 t³ + pt + q = 0 꼴(축약형)을 만듭니다.
(q/2)² + (p/3)³이 음수이면 세 실근을 삼각함수 공식으로, 양수이면 카르다노 공식으로 실근 하나를 구하고 나머지 이차식에서 두 허근을 구합니다. 0이면 중근이 있습니다.
실근은 뉴턴 방법으로 한 번 더 다듬어 반올림 오차를 줄입니다.

판별식 Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²가 양수이면 서로 다른 세 실근, 0이면 중근, 음수이면 한 실근과 두 허근입니다.
허근 p ± qi에서 i는 허수단위(i² = −1)입니다. 세 근의 합은 −b/a, 곱은 −d/a입니다.

a가 0이면요?

이차 이하 방정식이므로 이차방정식 계산기나 일차방정식 계산기를 쓰세요.

근이 1.99999999처럼 나오면요?

중근 근처에서는 부동소수 오차가 커질 수 있습니다. 대입해 0이 되는 정수가 있는지 확인해 보세요.

공대생 경도윤 씨는 과제에서 삼차방정식의 실근 하나를 구하고 나머지는 없다고 적었습니다. 채점 기준은 허근까지 포함한 세 근이었고, 풀이 과정이 맞아도 절반만 인정받았습니다.

같은 수업의 기라온 씨는 판별식으로 근의 종류를 먼저 확인하고 세 근을 모두 적은 뒤, 근과 계수의 관계로 합과 곱을 검산했습니다. 제출 전에 부호 실수를 하나 찾아 고칠 수 있었습니다.

방정식의 근, 모두 찾았다고 어떻게 확인하나요?

위 두 이야기는 이해를 돕기 위해 가상으로 구성한 사례입니다. 실제 인물이나 사건과 무관합니다.

근거 · 삼차방정식의 근과 계수의 관계(고등학교 수학Ⅰ·수학 교육과정), 카르다노 공식·비에트 삼각 해법