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이항분포 계산

n번 시행에서 성공이 정확히·이하·이상 k번일 확률과 평균·표준편차를 계산

성공 확률이 같은 시행을 n번 할 때 성공이 정확히 k번, k번 이하, k번 이상일 확률을 계산합니다. 불량품 개수, 합격자 수, 명중 횟수처럼 "몇 번 일어날까"를 따질 때 씁니다.

값 입력

계산 결과

P(X = k)0.266828
P(X ≤ k)0.649611
P(X ≥ k)0.617217
평균 (np)3
표준편차 √(np(1−p))1.4491
참고용 추정치입니다. 실제 신고·납부 전에는 관계 기관이나 전문가에게 확인하세요.

1계산 방법

  • P(X = k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k) 입니다. 큰 n에서도 넘치지 않도록 로그감마 함수로 계산합니다.
  • P(X ≤ k)와 P(X ≥ k)는 해당 범위의 확률을 모두 더해 구합니다. 두 값에는 P(X = k)가 함께 들어 있습니다.
  • 평균은 np, 표준편차는 √(np(1−p))입니다.

2결과 읽는 법

  • 확률은 소수 여섯째 자리까지 보여 주고, 0.000001보다 작으면 "미만"으로 표시합니다.
  • "적어도 한 번"은 k=1의 P(X ≥ k)로 확인합니다.

3알아두면 좋은 점

  • 각 시행이 서로 영향을 주지 않고 성공 확률이 매번 같아야 이항분포가 맞습니다.
  • n이 크고 np와 n(1−p)가 모두 5 이상이면 정규분포로 근사할 수 있습니다.
  • 뽑은 것을 되돌려 놓지 않는 추출(비복원)에서 모집단이 작으면 초기하분포가 더 정확합니다.

4자주 묻는 질문

엑셀 BINOM.DIST와 같은가요?
BINOM.DIST(k, n, p, FALSE)가 P(X = k), TRUE가 P(X ≤ k)입니다.
확률을 %로 넣어도 되나요?
0~1 사이 소수로 넣으세요. 30%는 0.3입니다.

5이런 경우가 있었습니다

"한 개쯤이야"라고 본 경우

수입 잡화를 파는 방시온 씨는 불량률이 낮다는 말만 듣고 스무 개 묶음을 검수 없이 행사 사은품으로 보냈습니다. 묶음마다 하나 이상 불량이 섞일 확률이 생각보다 높았고, 교환 요청이 이어졌습니다.

묶음 단위로 확률을 본 경우

같은 도매처를 쓰는 좌하람 씨는 묶음 안에 불량이 하나라도 있을 확률을 먼저 계산했습니다. 검수 인력을 조금 배치하는 편이 교환 비용보다 싸다는 것을 확인하고 발송 전에 한 번 걸렀습니다.

불량률이 낮아도, 묶음 전체에 하나라도 섞일 확률은 얼마일까요?

위 두 이야기는 이해를 돕기 위해 가상으로 구성한 사례입니다. 실제 인물이나 사건과 무관합니다.

근거 · 이항분포(고등학교 확률과 통계 교육과정), Microsoft Excel BINOM.DIST 함수 정의

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