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회귀분석 계산

단순 선형회귀식과 결정계수, 기울기 검정, 예측값의 신뢰·예측구간을 계산

두 변수 자료로 최소제곱 회귀식 y = bx + a를 구하고, 결정계수와 기울기의 유의성, 특정 x에서의 예측값과 구간을 계산합니다. 광고비와 매출, 공부 시간과 점수처럼 한 값으로 다른 값을 어림할 때 씁니다.

값 입력

3개 이상. 천 단위 쉼표는 쓰지 마세요.

비워 두면 예측을 계산하지 않습니다.

계산 결과

회귀식y = 0.7714x + 1.8
결정계수 R²0.7714
기울기 표준오차0.21
기울기 검정 (t, p값)t 3.674, p 0.0213
잔차 표준오차0.8783
자료 쌍 수6쌍 (자유도 4)
x₀에서의 예측값 ŷ7.2
평균 반응 95% 신뢰구간4.9298 ~ 9.4702
개별 값 95% 예측구간3.8683 ~ 10.5317
x₀가 자료 범위 밖입니다. 범위 밖 예측(외삽)은 관계가 그대로 이어진다는 가정에 기대므로 조심해서 읽으세요.
참고용 추정치입니다. 실제 신고·납부 전에는 관계 기관이나 전문가에게 확인하세요.

1계산 방법

  • 기울기 b = Sxy ÷ Sxx, 절편 a = ȳ − b·x̄ 입니다(최소제곱법). Sxx는 x 편차 제곱합, Sxy는 x·y 편차 곱의 합입니다.
  • 잔차 표준오차 s = √(잔차 제곱합 ÷ (n−2)), 기울기 표준오차 = s ÷ √Sxx 이고, t = b ÷ 표준오차를 자유도 n−2인 t분포로 검정합니다.
  • 평균 반응 구간은 ŷ ± t·s·√(1/n + (x₀−x̄)²/Sxx), 개별 값 예측구간은 제곱근 안에 1을 더해 더 넓습니다.

2결과 읽는 법

  • R²는 y의 변동 중 회귀식이 설명하는 비율입니다. 0.77이면 약 77%를 설명한다는 뜻입니다.
  • 기울기 p값이 0.05보다 작으면 기울기가 0이 아니라고(관계가 있다고) 보는 것이 보통입니다.
  • 예측구간은 새 관측 하나가 들어갈 범위, 신뢰구간은 같은 x에서의 평균값 범위입니다.

3알아두면 좋은 점

  • 상관계수와 회귀선만 빠르게 보려면 상관계수 계산기를 쓰세요. 이 계산기는 검정과 예측구간까지 보여 줍니다.
  • 자료 범위 밖의 x로 예측하면 구간이 넓어지고 관계가 달라질 수 있습니다.
  • 이상치 한두 개가 기울기를 크게 바꿀 수 있으니 산점도를 먼저 확인하세요.

4자주 묻는 질문

회귀분석으로 원인을 알 수 있나요?
아닙니다. 회귀식은 함께 움직이는 정도를 요약할 뿐이며, 인과관계는 실험 설계나 다른 근거로 확인해야 합니다.
엑셀 결과와 같나요?
엑셀 LINEST·추세선과 같은 최소제곱 공식이라 회귀식과 R²는 같게 나옵니다.

5이런 경우가 있었습니다

범위 밖을 예측한 경우

작은 온라인 매장을 운영하는 여다은 씨는 광고비와 매출 자료로 추세선을 그린 뒤, 해 본 적 없는 큰 광고비를 넣어 매출을 예측했습니다. 실제 매출은 예측의 절반에도 못 미쳤고, 광고비 대부분이 효과 없이 나갔습니다.

구간까지 본 경우

같은 시장 셀러 모임의 모승현 씨는 예측값과 함께 예측구간을 확인했습니다. 구간이 너무 넓다는 것을 보고 광고비를 조금씩 늘리며 자료를 더 모았고, 손실 없이 적정 예산을 찾았습니다.

추세선이 가리키는 숫자, 얼마나 넓게 흔들릴 수 있는지 보셨나요?

위 두 이야기는 이해를 돕기 위해 가상으로 구성한 사례입니다. 실제 인물이나 사건과 무관합니다.

근거 · 최소제곱법·단순선형회귀(통계학 교재), 통계청 통계용어(결정계수), t분포표

적용된 세율·기준값 확인 →